2001年全国大学生数学建模夏令营

数学建模题目（A）

A题 三峡工程陡高边坡开挖优化设计 (WORD文件格式)

一、 工程介绍

永久船闸是三峡工程的重要组成部分, 是目前世界上最在的通航建筑物之一。它位于三峡工程坝址的左岸山体中, 总长6442米, 其中闸室段长1617米, 距现长江河岸约1600米。在该区域内, 地面高程由河岸约60米向左岸逐渐增高至260米(坛子岭), 过坛子岭后局部较低, 然后逐渐增高至360米。永久船闸为双向5级连续船闸, 轴线方向为1110, 单级船闸有效尺寸为280米长×34米宽×5米深,5级船闸总长为1617米。船闸布置在深开挖的花岗岩中, 两侧采用较陡的边坡, 边坡的最大深度达170米(位于第三闸首附近约400米处), 其余一般50~120米。三峡工程永久船闸就是这样一个既高又陡的深槽, 该边坡与其它人工边坡不同, 属深切陡高边坡。

二、 问题

三峡工程山体剖面简化如下图, 在山体开挖一底宽为S米(已知), 高为H米(已知), 坡角为α(待求)的深槽(槽中放置船闸)。山体地应力沿高度分布, 且与山体深度成正比, 即山体地应力σ₀＝μγH, 其中, 侧压力系数为μ, 山体的容重为γ, 山体的磨擦系数为K, 山体的粘聚力为C。

岩体开挖后, 由于重力和地应力释放作用, 边坡可能沿某一圆弧面滑动。为了保证开挖后边坡的稳定, 必须进行加固。

在加固后, 保证边坡稳定的安全系数不低于某一值f_s的条件下, 确定最佳开挖坡角α。三、 提示

1.对应不同坡角α相应有最危险可能圆弧滑动面;

2.对应不同坡角α相应有不同的安全系数, 工程为保证边坡稳定, 要求加固后其稳定安全系数不低于某一常数f_s;

3.安全系数为阻滑力与下滑力的比值;

4.根据国家定额标准, 提供每千牛顿阻滑力费用为R₁, 开挖每立方米岩石费用为R₂;

5.地应力指山体中由于历史上地质构造作用后, 残存在山体中的剩余应力, 单位MPa;

6.侧压力系数指地应力与自重应力的比值, 其中自重应力为σ_v＝γH。

四、 可供参考的解题安全系数步骤

1.以90⁰~0⁰之间以某步长改变坡角α;

2.在给定坡角α下通过力学分析, 采用刚体平衡法(见参考文献[1]第20章第4节), 搜索其危险滑动面, 计算其稳定安全系数及下滑力;

3.加固至满足的安全系数;

4.计算该坡角下的开挖和加固工程量及其造价;

5.建立优化数学模型, 求最优坡角;

6.以总造价最少为最优坡角。

五、 实例

底宽S＝300米, 高为H＝170米, 山体的容重为γ＝27千牛顿/每立方米, 稳定安全系数f_s＝1.2, 侧压力系数μ＝0.8, 山体的磨擦系数K＝1.2, 对山体进行加固的费用R₁＝30元/牛顿米, 开挖的费用R₂＝100元/立方米, 粘聚力C＝2MPa。

六、 参考文献

[1] 岩土工程手册, 中国建筑工业出版社, 1999.

[2] 李建林, 卸荷岩体力学理论与应用, 中国建筑工业出版社, 1999.

[3] 徐志英, 岩石力学, 中国水利水电出版社, 1986.